『中学校数学科　発展・一般化をめざす教材研究の工夫２７』の詳細情報

　そのときのおもしろさとは，単に与えられた問題が解けたというものではなく，自分が解決したいと思った問題に，それまでに学んだ定理や公式が役立つことを発見したり，一見無関係と思える内容に意外な関連を見つけたりすることではないかと思います。

　教材研究とは，決められた内容をどう教えるかを研究するだけでなく，自分自身が，この単元はおもしろい，ここを教えたい，この問題を考えさせたい，と思えるようになるための営みであるべきだと思っています。そして，工夫した授業をした結果，生徒たちに「次は何を知りたい？」と聞いて「もっとその先が知りたい！」「もっと考えたい！」と言わせることができたら，すばらしいことでしょう。

　最近，オイラー関数について学び直しました。オイラー関数とは正の整数nより小さくてnと互いに素である数の個数をφ（n）と表すもので，素数pに対してはφ（p）＝p−１になります。いろいろな応用ができる関数ですが，その性質に，異なる素数p，qに対してφ（pq）＝φ（p）φ（q）が成り立つというものがあります。

　その証明は，φ（pq）がpqと互いに素である数の個数なので，それは１からpqまでのpq個からpの倍数p×１，p×２，…，p×qのq個と，qの倍数q×1，q×２，…，q×pのp個をひけばよいのですが，この計算ではpqを２回ひいているので１個を加えてpq−q−p＋１個とし，これを因数分解することによって，

　pq−q−p＋１

＝q（p−１）−p＋１

＝q（p−１）−（p−１）

＝（p−１）（q−１）

＝φ（p）φ（q）

のように示します。

　この証明の中に，集合の要素の個数の考え方と因数分解の知識が使われていることがわかります。練習問題の因数分解が解けても，それほど感動はありませんが，自分が知りたい整数の性質の証明に因数分解が役立ったことを私自身がうれしく思い，生徒にも教えたいと思いました。

　授業の中でオイラー関数を紹介することは，高校でもないかもしれません。しかし例えば，数学クラブの生徒に考えさせてみたり，直接紹介したりする場面がなかったとしても，数学の美しい定理に因数分解が確かに必要であることを知っていれば，そのことを授業の中で強調することもできるでしょう。

　教師が教科書中心の教えるべき内容の研究にとどまらず，幅広い知識をもち，学び続けていることが，理想的な授業につながっていくものと思います。

　　2014年７月　　　／小森　弘三