中学校数学科 発展・一般化をめざす教材研究の工夫27

中学校数学科 発展・一般化をめざす教材研究の工夫27

インタビュー掲載中

生徒に教える内容の“その先”が見えていますか?

生徒に教える最低限の内容、教科書で扱われているありふれた教材を、「数値で成り立つ事柄を文字で表す」「現実的な問題に応用する」「より進んだ概念につなげる」…といった発展・一般化の視点でとらえ直すことで、授業づくりが劇的に変わる!


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PDF
ISBN:
978-4-18-155719-5
ジャンル:
算数・数学
刊行:
対象:
中・高
仕様:
A5判 132頁
状態:
在庫あり
出荷:
2019年11月15日
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Contents

もくじの詳細表示

はじめに
教材の発展・一般化を試みることの意義
教材の発展・一般化の具体例27
数と式
1 数遊び
1 10を作ろう
2 フォア・フォーズ(4つの4)
2 整数の問題
1 完全数・不足数・過剰数
2 整数の魅力的な性質
3 規則性の発見とその発展
4 文字式の利用
1 数の性質とその調べ方
2 数当て
5 多項式の計算
1 フィンガーカウンティング
2 二項定理
COLUMN 三角数の和
図形
1 平面図形
1 作図とフェルマー点
2 折り紙
3 三角形の合同の証明
2 空間図形(正多面体)
COLUMN 定規だけによる作図
関数
1 座標と面積
2 反比例と分数関数
3 直線の傾きと曲線の接線
4 運動と二次関数
5 関数y=ax2と面積
COLUMN メゾ関数
場合の数と確率
1 場合の数と完全順列
2 サイコロの確率
3 条件付き確率
4 ベイズの定理
5 反復試行の確率
COLUMN 幸せの輪
参考文献

はじめに

 中学・高校における理想の授業とはどのようなものだろうと考えることがあります。それは,教師が教えたいと思う内容を教え,生徒が知りたいと思うことが学べる授業ではないかと思います。

 しかし現実は,教えるべき内容は学習指導要領で規定され,教科書の内容を教えなければならず,入学試験という形でその到達点も要求されています。当然,好き勝手なことを教えることはできないのですが,同じ教材でも,教科書にあるから教えるのではなく,教師自身がその教材の応用や発展,その先につながる数学を知り,おもしろいと思うことによって,教えたい内容になると考えています。

 そのときのおもしろさとは,単に与えられた問題が解けたというものではなく,自分が解決したいと思った問題に,それまでに学んだ定理や公式が役立つことを発見したり,一見無関係と思える内容に意外な関連を見つけたりすることではないかと思います。

 教材研究とは,決められた内容をどう教えるかを研究するだけでなく,自分自身が,この単元はおもしろい,ここを教えたい,この問題を考えさせたい,と思えるようになるための営みであるべきだと思っています。そして,工夫した授業をした結果,生徒たちに「次は何を知りたい?」と聞いて「もっとその先が知りたい!」「もっと考えたい!」と言わせることができたら,すばらしいことでしょう。


 最近,オイラー関数について学び直しました。オイラー関数とは正の整数nより小さくてnと互いに素である数の個数をφ(n)と表すもので,素数pに対してはφ(p)=p−1になります。いろいろな応用ができる関数ですが,その性質に,異なる素数p,qに対してφ(pq)=φ(p)φ(q)が成り立つというものがあります。


 その証明は,φ(pq)がpqと互いに素である数の個数なので,それは1からpqまでのpq個からpの倍数p×1,p×2,…,p×qのq個と,qの倍数q×1,q×2,…,q×pのp個をひけばよいのですが,この計算ではpqを2回ひいているので1個を加えてpq−q−p+1個とし,これを因数分解することによって,

 pq−q−p+1

=q(p−1)−p+1

=q(p−1)−(p−1)

=(p−1)(q−1)

=φ(p)φ(q)

のように示します。

 この証明の中に,集合の要素の個数の考え方と因数分解の知識が使われていることがわかります。練習問題の因数分解が解けても,それほど感動はありませんが,自分が知りたい整数の性質の証明に因数分解が役立ったことを私自身がうれしく思い,生徒にも教えたいと思いました。

 授業の中でオイラー関数を紹介することは,高校でもないかもしれません。しかし例えば,数学クラブの生徒に考えさせてみたり,直接紹介したりする場面がなかったとしても,数学の美しい定理に因数分解が確かに必要であることを知っていれば,そのことを授業の中で強調することもできるでしょう。


 教師が教科書中心の教えるべき内容の研究にとどまらず,幅広い知識をもち,学び続けていることが,理想的な授業につながっていくものと思います。


  2014年7月   /小森 弘三

著者紹介

小森 弘三(こもり こうぞう)著書を検索»

1956年生まれ,東京都在住。

筑波大学第一学群自然学類卒。

桐蔭学園教諭を経て現在,創価学園教諭

数学教育協議会会員。

※この情報は、本書が刊行された当時の奥付の記載内容に基づいて作成されています。
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